Sezione aurea significato e applicazione: la perfezione assoluta

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Per capire il significato e il campo di applicazione della sezione aurea dobbiamo partire dalla sua definizione matematica. Infatti, la sezione aurea rappresenta il numero irrazionale 1,6180339887… che si ottiene effettuando il rapporto fra due lunghezze disuguali delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore b e la somma delle due (a+b).

Sezione aurea - Wikipedia

Come illustrato nella figura qui sopra, la sezione aurea in pratica rappresenta la parte di una linea divisa in due parti non uguali. Inoltre, la lunghezza di questa linea è rappresentata da una proporzione matematica molto particolare rispetto alla parte di linea rimanente. La formula matematica con cui questa proporzione si ottiene è la seguente:

{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \varphi }

Il risultato di questa proporzione matematica è data dalla formula:

{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}6180339887}

Questo numero che rappresenta appunto una proporzione, è molto frequente in natura. Per questo motivo è proprio questa formula a essere riconosciuta come l’ideale di armonia, bellezza e proporzione perfetta.

Sezione aurea significato e applicazione in campo artistico

Il numero irrazionale 1,6180339887…per le sue caratteristiche trova largo impiego in campo artistico. Ad esempio, per la composizione di opere d’arte viene spesso usato il rettangolo aureo. Per creare il rettangolo aureo basta seguire le istruzioni illustrate nella figura qui sotto. Il risultato finale sarà un rettangolo la cui altezza è pari a 1 metro e la base è 0,618 metri.

Rettangolo aureo

Applicazione della sezione aurea nella storia

Le opere architettoniche e artistiche del passato vedono un uso comune della sezione aurea. Infatti, si pensa che i Babilonesi e gli Egizi già conoscessero questa proporzione e l’applicassero alle loro creazioni.

Primo utilizzo presunto della sezione aurea

Il primo utilizzo presunto della sezione aurea è da attribuirsi ai Babilonesi. Infatti, gli studiosi hanno ritrovato delle tavolette che riportano dei calcoli e delle geometrie che, anche se approssimative, fanno pensare all’uso del pi greco o all’area del pentagono. Questo certamente non dimostra l’effettiva conoscenza e l’uso della sezione aurea. Alcuni studiosi, però, affermano la presenza di questa proporzione su alcuni bassorilievi e steli ritrovati ma la questione è ancora da dimostrare.

Anche agli Egizi vengono attribuite conoscenze matematiche avanzate che sono documentabili grazie alla realizzazione di numerosi monumenti. Alcuni studiosi ritengono che le proporzioni proprie della sezione aurea, siano state applicate per la costruzione di alcuni edifici come ad esempio:

  1. Piramide di Cheope,
  2. pianta dell’Osireion,
  3. Tomba di Petosiris.

Per quanto riguarda la Piramide di Cheope, la sezione aurea è stata riscontrata nel rapporto fra il semilato della piramide e l’altezza della facciata triangolare costruibile sulla stessa.

Mathematical Pyramid.svg

La piramide di Cheope ha un’altezza totale di circa 147 m e la lunghezza del lato è pari a 230 m. L’inclinazione della parete è di 51° 50′ 35″.

{186{,}64\,m \over 115\,m}=1{,}6229

Come illustrato nella formula qui sopra, il valore risultante è molto vicino a quello della sezione aurea. La differenza è di circa mezzo centimetro. Non dobbiamo dimenticare che non ci sono testimonianze e prove scritte sull’uso effettivo della sezione aurea per la realizzazione delle opere realizzate dagli Egizi. Al momento, sono solo supposizioni.

Primo utilizzo effettivo della sezione aurea

Il primo uso effettivo della sezione aurea risale al VI secolo a.C. grazie agli studi compiuti dalla scuola Pitagorica. Infatti, sono state le ricerche e le applicazioni dei matematici appartenenti a questa scuola, a diffondere l’uso di questa proporzione.

Nella scuola Pitagorica, la definizione di rapporto aureo viene associata allo studio della geometria del pentagono regolare. Infatti, il pentagono regolare è una figura geometrica con cinque lati uguali nel cui numero i pitagorici scorsero alcuni significati importanti come quello dell’unione tra principio femminile e maschile e arrivarono anche a considerare il numero cinque il simbolo del matrimonio e dell’amore.

Per i Pitagorici, il rapporto aureo è rintracciabile nel rapporto tra:

  1. Il segmento AB e il lato BC,
  2. ma anche, il segmento AB e BD,
  3. e AC e AD
  4. AD e DC.

Associate a questa figura geometrica vi sono infinite relazioni simili.

Fibonacci e la sezione aurea

Dopo i pitagorici trascorsero all’incirca mille anni prima che qualcuno riprendesse a studiare la sezione aurea. Infatti, fu nel 1202 che Leonardo Fibonacci

Dal declino del periodo ellenistico passarono circa mille anni prima che la sezione aurea tornasse nuovamente far parte degli studi e delle ricerche dei matematici. Infatti, solo nel 1202 Leonardo Fibonacci pubblica il suo Liber abaci con il quale verranno diffuse in Europa alcuni metodi per semplificare le modalità di calcolo. Fu proprio in quel libro che venne per la prima volta illustrato il concetto di successione ricorsiva rappresentata qui sotto.

In questa successione di numeri, ogni termine è dato dalla somma dei due precedenti. Solamente qualche secolo più tardi venne scoperta la correlazione tra la sezione aurea e questa successione.

Infatti, possiamo dire che la relazione tra il numero aureo e la serie di Fibonacci fu scoperta nel 1611 da Keplero. Keplero scoprì che il rapporto fra due numeri consecutivi presenti nella successione di Fibonacci si avvicinava sempre più al numero aureo:

{\begin{aligned}\cdots &&\\{{\frac  {55}{34}}}&=&{\color {blue}1{,}61}7\,647\\{{\frac  {89}{55}}}&=&{\color {blue}1{,}618}\,182\\{{\frac  {144}{89}}}&=&{\color {blue}1{,}61}7\,978\\{{\frac  {233}{144}}}&=&{\color {blue}1{,}618\,0}56\\{{\frac  {377}{233}}}&=&{\color {blue}1{,}618\,0}26\\{{\frac  {610}{377}}}&=&{\color {blue}1{,}618\,03}7\\{{\frac  {987}{610}}}&=&{\color {blue}1{,}618\,033}\\\cdots &&\end{aligned}}

Keplero era un astronomo pertanto, non approfondì gli aspetti matematici di questa cosa.

Nei secoli successivi la sezione aurea venne definita “proporzione media ed estrema” e più tardi assunse anche una connotazione quasi divina e misteriosa.

Prima testimonianza scritta della sezione aurea

La prima testimonianza scritta ufficiale che testimonia l’uso della sezione aurea risale al 1835 nel libro Die Reine Elementar-Mathematik. In questo libro Martin Ohm, matematico tedesco, scrive riferendosi appunto alla sezione aure: «è chiamata “sezione aurea”». Con questa frase il matematico specifica di non esserne l’ideatore del nome ma di usare un’espressione molto diffusa.

Nell’Ottocento, la sezione aurea si diffuse nel campo dell’artistico. Infatti, comparve nelle opere di molti artisti che ne confermavano l’uso. Da quel momento in poi, l’uso della sezione aurea (soprattutto il rettangolo aureo) in campo artistico, si diffuse perché costituiva un vero e proprio canone estetico naturale per essere molto ricorrente in natura. Sono proprio gli artisti di quel tempo ad appezzare le proporzioni dettate dalla sezione aurea considerandola capace di dare un senso di armonia in tutto ciò che la possedeva.

La sezione aurea e la psicologia

La sezione aurea interessò anche psicologi che vennero affascinati e allo stesso tempo ossessionati da questa proporzione cercando di rintracciare connessioni molto spesso anche bizzarre.

Alcuni studi psicologici vennero compiuti a partire dall’Ottocento per dimostrare la connessione tra canone estetico e sezione aurea. Infatti, gli esperimenti si concentrarono sulla dimostrazione circa la preferenza estetica da parte dei partecipanti verso composizioni artistiche formulate tenendo rispettando le proporzioni del rettangolo aureo. Uno dei fondatori della psicologia sperimentale, il dottor Gustav Fechner, pubblicò tutti i risultati degli esperimenti condotti sulla preferenza estetica delle persone. Questi studi scientifici confermarono la tesi della preferenza estetica per il rettangolo aureo e la sezione aurea.

La sezione aurea negli ultimi due secoli

Come abbiamo visto in precedenza, la sezione aurea divenne quasi un’ossessione e una continua ricerca anche in a volte in ambiti inesistenti. Infatti, molto spesso si cercavano delle connessioni nei mercati azionari (con la famosa teoria delle onde) o a definire nuovi canoni estetici con il Modulor ideato dall’architetto Le Corbusier.

I matematici del XX secolo, grazie all’avvento del computer, tentarono di ottenere una stima sempre più precisa del numero irrazionale identificato dalla sezione aurea. Infatti, uno dei primi tentativi venne eseguito nel 1966 da M. Berg che grazie alla potenza di calcolo di un IBM1401, riusci a calcolare il numero fino alla 4599ª cifra.

Più tardi venne calcolato il valore \varphi  fino al 1000º decimale.

Il matematico Penrose nel 1974 utilizzò delle figure legate a \varphi , e scoprì la possibilità di una tassellatura a simmetria quintupla anche utilizzando figure diversa. Questa tassellatura venne chiamata come tassellatura di Penrose. La caratteristica che lega questa tassellatura alla sezione aurea è la simmetria particolare a pentagono e il fatto che le stesse figure si basano unicamente sul rapporto aureo.

Sezione aurea significato e applicazione in geometria

Come abbiamo visto in precedenza, la sezione aurea viene utilizzata spesso in geometria e risulta collegata alla figura geometrica del pentagono equilatero. Abbiamo visto come nella scuola pitagorica il pentagono regolare aveva un rapporto proporzionale con la diagonale e il lato. Inoltre furono proprio i pitagorici a inscrivere una stella a cinque punte all’interno del poligono all’interno del quale era possibili iscrivere un altro pentagono regolare fino all’infinito.

In geometria la sezione aurea si trova anche nel decagono e nel rapporto fra il raggio della circonferenza circoscritta e del lato. Inoltre, nell’ambito della geometria solida, troviamo la sezione aurea nel dodecaedro (si chiama così un poligono con dodici pentagoni regolari) e nell’icosaedro. Queste due figure geometriche solide sono anche conosciute come “solidi platonici”.

I poligoni aurei più usati sono il rettangolo aureo e il triangolo aureo:

Golden spiral in rectangles.svg
Golden triangle and Fibonacci spiral.svg

Nel rettangolo aureo il rapporto è facilmente visibile fra il lato più corto e quello più lungo. Invece, per il triangolo aureo, il rapporto fra la base e i lati uguali. Ha senso notare che in tutti e due i casi si possono disegnare una successione infinita di figure simili sempre più piccole. Nel caso specifico del rettangolo, si ottiene una particolare figura che sembra convergere in un punto di fuga che il matematico Clifford A. Pickover chiamò “occhio di Dio”.

Infine, dal punto di vista geometrico, lavorando sulle successioni di entrambi i poligoni è possibile ricavare una spirale, denominata spirale aurea.

Sezione aurea significato e applicazione in architettura

La sezione aurea viene applicata molto frequentemente anche in architettura. Per comodità possiamo dire che gli edifici più famosi che rispettano le regole di proporzione tipiche della sezione aurea sono:

  1. Il Partenone ad Atene,
  2. facciata del Palazzo dell’Onu a New York,

1. La sezione aurea nel Partenone

Uno degli esempi più famosi dell’applicazione della sezione aurea in architettura è certamente la facciata del Partenone ad Atene.

Come puoi notare nella figura qui sopra, a partire dalla facciata principale, tutto il Partenone è stato progettato applicando le proporzioni dettate dalla sezione aurea. La facciata del Partenone si può iscrivere completamente in un rettangolo aureo da cui poi si ricavano multipli e sottomultipli per definire gli elementi minori.

Diversi artisti si cimenteranno nella riproduzione dell’uomo ideale delineato da Vitruvio, fino a Leonardo.

Già Vitruvio, architetto romano del I secolo a.C., aveva studiato quali dovessero essere le proporzioni ideali di un canone estetico, rilevando ad esempio che l’altezza di una figura umana doveva risultare uguale all’apertura delle sue braccia, e che la stessa figura potesse essere iscritta in un cerchio. Diversi artisti si cimenteranno nella riproduzione dell’uomo ideale delineato da Vitruvio, fino a Leonardo.[47]

L’esempio più famoso di utilizzo delle proporzioni auree in architettura è il Partenone di Atene: la sua facciata, infatti, si può perfettamente inscrivere in un rettangolo aureo. Anche nella facciata del Palazzo dell’Onu a New York, al cui progetto ha partecipato Le Corbusier, si trovano rettangoli aurei. Nella Gioconda di Leonardo il rapporto aureo è stato individuato nella disposizione dei lineamenti del viso, nell’area che va dal collo a sopra le mani e in quella che va dalla scollatura dell’abito fino a sotto le mani. In anatomia si trova la sezione aurea nel rapporto tra l’altezza di un individuo e la distanza del suo ombelico da terra. Sono rettangoli aurei persino le carte da gioco napoletane e con esse molte tessere di uso comune (carte di credito, bancomat ecc). cambiare qua

Bibliografia

Herz-Fischler R., A Mathematical History of the Golden Number, Dover Publication, Mineola, NY, 1998;
Le Corbusier, Il Modulor + Modulor 2, FLC, Parigi, 2004; Livio M., La sezione aurea. Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni, Rizzoli, Milano, 2003.

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